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Yudong Jin
7257641e0e
* Retranslate the complete Japanese online edition from Chinese * Fit Japanese homepage labels and localize heading permalinks * Point Japanese contribution instructions to the Japanese preview * Replace locale conditionals with multilingual UI tables
675 lines
23 KiB
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675 lines
23 KiB
Markdown
# 二分木
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<u>二分木（binary tree）</u>は、「祖先」と「子孫」の派生関係を表す非線形データ構造で、「一つを二つに分ける」という分割統治の論理を体現しています。連結リストと同様、基本単位はノードで、各ノードには値、左の子への参照、右の子への参照が含まれます。
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=== "Python"
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```python title=""
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class TreeNode:
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"""二分木のノードクラス"""
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def __init__(self, val: int):
|
||
self.val: int = val # ノードの値
|
||
self.left: TreeNode | None = None # 左の子への参照
|
||
self.right: TreeNode | None = None # 右の子への参照
|
||
```
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=== "C++"
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```cpp title=""
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/* 二分木のノード構造体 */
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struct TreeNode {
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||
int val; // ノードの値
|
||
TreeNode *left; // 左の子へのポインタ
|
||
TreeNode *right; // 右の子へのポインタ
|
||
TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
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};
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```
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=== "Java"
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```java title=""
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/* 二分木のノードクラス */
|
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class TreeNode {
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int val; // ノードの値
|
||
TreeNode left; // 左の子への参照
|
||
TreeNode right; // 右の子への参照
|
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TreeNode(int x) { val = x; }
|
||
}
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```
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=== "C#"
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```csharp title=""
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/* 二分木のノードクラス */
|
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class TreeNode(int? x) {
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||
public int? val = x; // ノードの値
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public TreeNode? left; // 左の子への参照
|
||
public TreeNode? right; // 右の子への参照
|
||
}
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```
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=== "Go"
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```go title=""
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/* 二分木のノード構造体 */
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type TreeNode struct {
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Val int
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Left *TreeNode
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Right *TreeNode
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}
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/* コンストラクタ */
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func NewTreeNode(v int) *TreeNode {
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return &TreeNode{
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Left: nil, // 左の子へのポインタ
|
||
Right: nil, // 右の子へのポインタ
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Val: v, // ノードの値
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}
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}
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```
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=== "Swift"
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```swift title=""
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/* 二分木のノードクラス */
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class TreeNode {
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var val: Int // ノードの値
|
||
var left: TreeNode? // 左の子への参照
|
||
var right: TreeNode? // 右の子への参照
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init(x: Int) {
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val = x
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}
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}
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```
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=== "JS"
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```javascript title=""
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/* 二分木のノードクラス */
|
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class TreeNode {
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val; // ノードの値
|
||
left; // 左の子へのポインタ
|
||
right; // 右の子へのポインタ
|
||
constructor(val, left, right) {
|
||
this.val = val === undefined ? 0 : val;
|
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this.left = left === undefined ? null : left;
|
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this.right = right === undefined ? null : right;
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||
}
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||
}
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```
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=== "TS"
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```typescript title=""
|
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/* 二分木のノードクラス */
|
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class TreeNode {
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val: number;
|
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left: TreeNode | null;
|
||
right: TreeNode | null;
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constructor(val?: number, left?: TreeNode | null, right?: TreeNode | null) {
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||
this.val = val === undefined ? 0 : val; // ノードの値
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||
this.left = left === undefined ? null : left; // 左の子への参照
|
||
this.right = right === undefined ? null : right; // 右の子への参照
|
||
}
|
||
}
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```
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=== "Dart"
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```dart title=""
|
||
/* 二分木のノードクラス */
|
||
class TreeNode {
|
||
int val; // ノードの値
|
||
TreeNode? left; // 左の子への参照
|
||
TreeNode? right; // 右の子への参照
|
||
TreeNode(this.val, [this.left, this.right]);
|
||
}
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```
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=== "Rust"
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```rust title=""
|
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use std::rc::Rc;
|
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use std::cell::RefCell;
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/* 二分木のノード構造体 */
|
||
struct TreeNode {
|
||
val: i32, // ノードの値
|
||
left: Option<Rc<RefCell<TreeNode>>>, // 左の子への参照
|
||
right: Option<Rc<RefCell<TreeNode>>>, // 右の子への参照
|
||
}
|
||
|
||
impl TreeNode {
|
||
/* コンストラクタ */
|
||
fn new(val: i32) -> Rc<RefCell<Self>> {
|
||
Rc::new(RefCell::new(Self {
|
||
val,
|
||
left: None,
|
||
right: None
|
||
}))
|
||
}
|
||
}
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```
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=== "C"
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```c title=""
|
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/* 二分木のノード構造体 */
|
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typedef struct TreeNode {
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int val; // ノードの値
|
||
int height; // ノードの高さ
|
||
struct TreeNode *left; // 左の子へのポインタ
|
||
struct TreeNode *right; // 右の子へのポインタ
|
||
} TreeNode;
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||
/* コンストラクタ */
|
||
TreeNode *newTreeNode(int val) {
|
||
TreeNode *node;
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||
node = (TreeNode *)malloc(sizeof(TreeNode));
|
||
node->val = val;
|
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node->height = 0;
|
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node->left = NULL;
|
||
node->right = NULL;
|
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return node;
|
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}
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```
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=== "Kotlin"
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```kotlin title=""
|
||
/* 二分木のノードクラス */
|
||
class TreeNode(val _val: Int) { // ノードの値
|
||
var left: TreeNode? = null // 左の子への参照
|
||
var right: TreeNode? = null // 右の子への参照
|
||
}
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```
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=== "Ruby"
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```ruby title=""
|
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### 二分木のノードクラス ###
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class TreeNode
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attr_accessor :val # ノードの値
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attr_accessor :left # 左の子への参照
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attr_accessor :right # 右の子への参照
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def initialize(val)
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@val = val
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end
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end
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```
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各ノードは二つの参照（ポインタ）を持ち、それぞれ<u>左の子ノード（left-child node）</u>と<u>右の子ノード（right-child node）</u>を指します。そのノードは、二つの子の<u>親ノード（parent node）</u>と呼ばれます。あるノードの左の子とその下のノードが作る木を<u>左部分木（left subtree）</u>と呼び、同様に<u>右部分木（right subtree）</u>も定義できます。
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**二分木では、葉以外のすべてのノードが、子ノードと空でない部分木を持ちます**。下図で「ノード 2」を親とすると、左右の子は「ノード 4」と「ノード 5」です。左部分木はノード 4 とその下のノードが作る木、右部分木はノード 5 とその下のノードが作る木です。
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## 二分木の主な用語
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主な用語を下図に示します。
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- <u>根ノード（root node）</u>：最上層にある、親を持たないノードです。
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- <u>葉ノード（leaf node）</u>：子を持たず、二つのポインタがどちらも `None` を指すノードです。
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- <u>辺（edge）</u>：二つのノードを結ぶ線で、ノードの参照（ポインタ）です。
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- ノードの<u>レベル（level）</u>：上から下へ増え、根のレベルは 1 です。
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- ノードの<u>次数（degree）</u>：子ノードの数です。二分木では 0、1、2 のいずれかです。
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- 二分木の<u>高さ（height）</u>：根から最も遠い葉までに通る辺の数です。
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- ノードの<u>深さ（depth）</u>：根からそのノードまでに通る辺の数です。
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- ノードの<u>高さ（height）</u>：そのノードから最も遠い葉と、そのノードとの間にある辺の数です。
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!!! tip
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通常、高さと深さは通る辺の数で定義しますが、問題や教科書によっては通るノードの数で定義する場合もあります。その場合は、高さと深さの両方に 1 を加えます。
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## 二分木の基本操作
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### 二分木の初期化
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連結リストと同じく、まずノードを初期化し、次に参照（ポインタ）をつなぎます。
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=== "Python"
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```python title="binary_tree.py"
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# 二分木を初期化
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# ノードを初期化
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n1 = TreeNode(val=1)
|
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n2 = TreeNode(val=2)
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n3 = TreeNode(val=3)
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n4 = TreeNode(val=4)
|
||
n5 = TreeNode(val=5)
|
||
# ノード間の参照（ポインタ）をつなぐ
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||
n1.left = n2
|
||
n1.right = n3
|
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n2.left = n4
|
||
n2.right = n5
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```
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=== "C++"
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```cpp title="binary_tree.cpp"
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/* 二分木を初期化 */
|
||
// ノードを初期化
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||
TreeNode* n1 = new TreeNode(1);
|
||
TreeNode* n2 = new TreeNode(2);
|
||
TreeNode* n3 = new TreeNode(3);
|
||
TreeNode* n4 = new TreeNode(4);
|
||
TreeNode* n5 = new TreeNode(5);
|
||
// ノード間の参照（ポインタ）をつなぐ
|
||
n1->left = n2;
|
||
n1->right = n3;
|
||
n2->left = n4;
|
||
n2->right = n5;
|
||
```
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||
=== "Java"
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||
|
||
```java title="binary_tree.java"
|
||
// ノードを初期化
|
||
TreeNode n1 = new TreeNode(1);
|
||
TreeNode n2 = new TreeNode(2);
|
||
TreeNode n3 = new TreeNode(3);
|
||
TreeNode n4 = new TreeNode(4);
|
||
TreeNode n5 = new TreeNode(5);
|
||
// ノード間の参照（ポインタ）をつなぐ
|
||
n1.left = n2;
|
||
n1.right = n3;
|
||
n2.left = n4;
|
||
n2.right = n5;
|
||
```
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||
|
||
=== "C#"
|
||
|
||
```csharp title="binary_tree.cs"
|
||
/* 二分木を初期化 */
|
||
// ノードを初期化
|
||
TreeNode n1 = new(1);
|
||
TreeNode n2 = new(2);
|
||
TreeNode n3 = new(3);
|
||
TreeNode n4 = new(4);
|
||
TreeNode n5 = new(5);
|
||
// ノード間の参照（ポインタ）をつなぐ
|
||
n1.left = n2;
|
||
n1.right = n3;
|
||
n2.left = n4;
|
||
n2.right = n5;
|
||
```
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|
||
=== "Go"
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||
|
||
```go title="binary_tree.go"
|
||
/* 二分木を初期化 */
|
||
// ノードを初期化
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||
n1 := NewTreeNode(1)
|
||
n2 := NewTreeNode(2)
|
||
n3 := NewTreeNode(3)
|
||
n4 := NewTreeNode(4)
|
||
n5 := NewTreeNode(5)
|
||
// ノード間の参照（ポインタ）をつなぐ
|
||
n1.Left = n2
|
||
n1.Right = n3
|
||
n2.Left = n4
|
||
n2.Right = n5
|
||
```
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||
|
||
=== "Swift"
|
||
|
||
```swift title="binary_tree.swift"
|
||
// ノードを初期化
|
||
let n1 = TreeNode(x: 1)
|
||
let n2 = TreeNode(x: 2)
|
||
let n3 = TreeNode(x: 3)
|
||
let n4 = TreeNode(x: 4)
|
||
let n5 = TreeNode(x: 5)
|
||
// ノード間の参照（ポインタ）をつなぐ
|
||
n1.left = n2
|
||
n1.right = n3
|
||
n2.left = n4
|
||
n2.right = n5
|
||
```
|
||
|
||
=== "JS"
|
||
|
||
```javascript title="binary_tree.js"
|
||
/* 二分木を初期化 */
|
||
// ノードを初期化
|
||
let n1 = new TreeNode(1),
|
||
n2 = new TreeNode(2),
|
||
n3 = new TreeNode(3),
|
||
n4 = new TreeNode(4),
|
||
n5 = new TreeNode(5);
|
||
// ノード間の参照（ポインタ）をつなぐ
|
||
n1.left = n2;
|
||
n1.right = n3;
|
||
n2.left = n4;
|
||
n2.right = n5;
|
||
```
|
||
|
||
=== "TS"
|
||
|
||
```typescript title="binary_tree.ts"
|
||
/* 二分木を初期化 */
|
||
// ノードを初期化
|
||
let n1 = new TreeNode(1),
|
||
n2 = new TreeNode(2),
|
||
n3 = new TreeNode(3),
|
||
n4 = new TreeNode(4),
|
||
n5 = new TreeNode(5);
|
||
// ノード間の参照（ポインタ）をつなぐ
|
||
n1.left = n2;
|
||
n1.right = n3;
|
||
n2.left = n4;
|
||
n2.right = n5;
|
||
```
|
||
|
||
=== "Dart"
|
||
|
||
```dart title="binary_tree.dart"
|
||
/* 二分木を初期化 */
|
||
// ノードを初期化
|
||
TreeNode n1 = new TreeNode(1);
|
||
TreeNode n2 = new TreeNode(2);
|
||
TreeNode n3 = new TreeNode(3);
|
||
TreeNode n4 = new TreeNode(4);
|
||
TreeNode n5 = new TreeNode(5);
|
||
// ノード間の参照（ポインタ）をつなぐ
|
||
n1.left = n2;
|
||
n1.right = n3;
|
||
n2.left = n4;
|
||
n2.right = n5;
|
||
```
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|
||
=== "Rust"
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||
|
||
```rust title="binary_tree.rs"
|
||
// ノードを初期化
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let n1 = TreeNode::new(1);
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let n2 = TreeNode::new(2);
|
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let n3 = TreeNode::new(3);
|
||
let n4 = TreeNode::new(4);
|
||
let n5 = TreeNode::new(5);
|
||
// ノード間の参照（ポインタ）をつなぐ
|
||
n1.borrow_mut().left = Some(n2.clone());
|
||
n1.borrow_mut().right = Some(n3);
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||
n2.borrow_mut().left = Some(n4);
|
||
n2.borrow_mut().right = Some(n5);
|
||
```
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||
=== "C"
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||
```c title="binary_tree.c"
|
||
/* 二分木を初期化 */
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||
// ノードを初期化
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TreeNode *n1 = newTreeNode(1);
|
||
TreeNode *n2 = newTreeNode(2);
|
||
TreeNode *n3 = newTreeNode(3);
|
||
TreeNode *n4 = newTreeNode(4);
|
||
TreeNode *n5 = newTreeNode(5);
|
||
// ノード間の参照（ポインタ）をつなぐ
|
||
n1->left = n2;
|
||
n1->right = n3;
|
||
n2->left = n4;
|
||
n2->right = n5;
|
||
```
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||
=== "Kotlin"
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||
|
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```kotlin title="binary_tree.kt"
|
||
// ノードを初期化
|
||
val n1 = TreeNode(1)
|
||
val n2 = TreeNode(2)
|
||
val n3 = TreeNode(3)
|
||
val n4 = TreeNode(4)
|
||
val n5 = TreeNode(5)
|
||
// ノード間の参照（ポインタ）をつなぐ
|
||
n1.left = n2
|
||
n1.right = n3
|
||
n2.left = n4
|
||
n2.right = n5
|
||
```
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||
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||
=== "Ruby"
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||
|
||
```ruby title="binary_tree.rb"
|
||
# 二分木を初期化
|
||
# ノードを初期化
|
||
n1 = TreeNode.new(1)
|
||
n2 = TreeNode.new(2)
|
||
n3 = TreeNode.new(3)
|
||
n4 = TreeNode.new(4)
|
||
n5 = TreeNode.new(5)
|
||
# ノード間の参照（ポインタ）をつなぐ
|
||
n1.left = n2
|
||
n1.right = n3
|
||
n2.left = n4
|
||
n2.right = n5
|
||
```
|
||
|
||
??? pythontutor "実行の可視化"
|
||
|
||
https://pythontutor.com/render.html#code=class%20TreeNode%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%88%86%E6%9C%A8%E3%81%AE%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%89%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%B9%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__(self%2C%20val%3A%20int)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%3A%20int%20%3D%20val%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%89%E3%81%AE%E5%80%A4%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.left%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%20%23%20%E5%B7%A6%E3%81%AE%E5%AD%90%E3%81%B8%E3%81%AE%E5%8F%82%E7%85%A7%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.right%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%23%20%E5%8F%B3%E3%81%AE%E5%AD%90%E3%81%B8%E3%81%AE%E5%8F%82%E7%85%A7%0A%0A%22%22%22%E5%AE%9F%E8%A1%8C%E7%94%A8%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%89%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E4%BA%8C%E5%88%86%E6%9C%A8%E3%82%92%E5%88%9D%E6%9C%9F%E5%8C%96%0A%20%20%20%20%23%20%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%89%E3%82%92%E5%88%9D%E6%9C%9F%E5%8C%96%0A%20%20%20%20n1%20%3D%20TreeNode(val%3D1)%0A%20%20%20%20n2%20%3D%20TreeNode(val%3D2)%0A%20%20%20%20n3%20%3D%20TreeNode(val%3D3)%0A%20%20%20%20n4%20%3D%20TreeNode(val%3D4)%0A%20%20%20%20n5%20%3D%20TreeNode(val%3D5)%0A%20%20%20%20%23%20%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%89%E9%96%93%E3%81%AE%E5%8F%82%E7%85%A7%EF%BC%88%E3%83%9D%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%BF%EF%BC%89%E3%82%92%E3%81%A4%E3%81%AA%E3%81%90%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20n2%0A%20%20%20%20n1.right%20%3D%20n3%0A%20%20%20%20n2.left%20%3D%20n4%0A%20%20%20%20n2.right%20%3D%20n5&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&mode=display&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false
|
||
|
||
### ノードの挿入と削除
|
||
|
||
連結リストと同様に、ポインタを変更してノードを挿入・削除できます。下図に例を示します。
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=== "Python"
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```python title="binary_tree.py"
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# ノードの挿入と削除
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p = TreeNode(0)
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# n1 -> n2 の間にノード P を挿入
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n1.left = p
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p.left = n2
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# ノード P を削除
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n1.left = n2
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```
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=== "C++"
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```cpp title="binary_tree.cpp"
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/* ノードの挿入と削除 */
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TreeNode* P = new TreeNode(0);
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||
// n1 -> n2 の間にノード P を挿入
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n1->left = P;
|
||
P->left = n2;
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// ノード P を削除
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||
n1->left = n2;
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// メモリを解放
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delete P;
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```
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=== "Java"
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```java title="binary_tree.java"
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TreeNode P = new TreeNode(0);
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||
// n1 -> n2 の間にノード P を挿入
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n1.left = P;
|
||
P.left = n2;
|
||
// ノード P を削除
|
||
n1.left = n2;
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||
```
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=== "C#"
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```csharp title="binary_tree.cs"
|
||
/* ノードの挿入と削除 */
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||
TreeNode P = new(0);
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||
// n1 -> n2 の間にノード P を挿入
|
||
n1.left = P;
|
||
P.left = n2;
|
||
// ノード P を削除
|
||
n1.left = n2;
|
||
```
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=== "Go"
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```go title="binary_tree.go"
|
||
/* ノードの挿入と削除 */
|
||
// n1 -> n2 の間にノード P を挿入
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p := NewTreeNode(0)
|
||
n1.Left = p
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||
p.Left = n2
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||
// ノード P を削除
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||
n1.Left = n2
|
||
```
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=== "Swift"
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```swift title="binary_tree.swift"
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||
let P = TreeNode(x: 0)
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||
// n1 -> n2 の間にノード P を挿入
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n1.left = P
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||
P.left = n2
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||
// ノード P を削除
|
||
n1.left = n2
|
||
```
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=== "JS"
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```javascript title="binary_tree.js"
|
||
/* ノードの挿入と削除 */
|
||
let P = new TreeNode(0);
|
||
// n1 -> n2 の間にノード P を挿入
|
||
n1.left = P;
|
||
P.left = n2;
|
||
// ノード P を削除
|
||
n1.left = n2;
|
||
```
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=== "TS"
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```typescript title="binary_tree.ts"
|
||
/* ノードの挿入と削除 */
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||
const P = new TreeNode(0);
|
||
// n1 -> n2 の間にノード P を挿入
|
||
n1.left = P;
|
||
P.left = n2;
|
||
// ノード P を削除
|
||
n1.left = n2;
|
||
```
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=== "Dart"
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```dart title="binary_tree.dart"
|
||
/* ノードの挿入と削除 */
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||
TreeNode P = new TreeNode(0);
|
||
// n1 -> n2 の間にノード P を挿入
|
||
n1.left = P;
|
||
P.left = n2;
|
||
// ノード P を削除
|
||
n1.left = n2;
|
||
```
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=== "Rust"
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```rust title="binary_tree.rs"
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||
let p = TreeNode::new(0);
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||
// n1 -> n2 の間にノード P を挿入
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||
n1.borrow_mut().left = Some(p.clone());
|
||
p.borrow_mut().left = Some(n2.clone());
|
||
// ノード p を削除
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||
n1.borrow_mut().left = Some(n2);
|
||
```
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=== "C"
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```c title="binary_tree.c"
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||
/* ノードの挿入と削除 */
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TreeNode *P = newTreeNode(0);
|
||
// n1 -> n2 の間にノード P を挿入
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n1->left = P;
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P->left = n2;
|
||
// ノード P を削除
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||
n1->left = n2;
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||
// メモリを解放
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free(P);
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||
```
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=== "Kotlin"
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```kotlin title="binary_tree.kt"
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val P = TreeNode(0)
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// n1 -> n2 の間にノード P を挿入
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n1.left = P
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P.left = n2
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||
// ノード P を削除
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||
n1.left = n2
|
||
```
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=== "Ruby"
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```ruby title="binary_tree.rb"
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||
# ノードの挿入と削除
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_p = TreeNode.new(0)
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# n1 -> n2 の間にノード _p を挿入
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n1.left = _p
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_p.left = n2
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||
# ノードを削除
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n1.left = n2
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||
```
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??? pythontutor "実行の可視化"
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https://pythontutor.com/render.html#code=class%20TreeNode%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%88%86%E6%9C%A8%E3%81%AE%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%89%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%B9%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__(self%2C%20val%3A%20int)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%3A%20int%20%3D%20val%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%89%E3%81%AE%E5%80%A4%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.left%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%20%23%20%E5%B7%A6%E3%81%AE%E5%AD%90%E3%81%B8%E3%81%AE%E5%8F%82%E7%85%A7%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.right%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%23%20%E5%8F%B3%E3%81%AE%E5%AD%90%E3%81%B8%E3%81%AE%E5%8F%82%E7%85%A7%0A%0A%22%22%22%E5%AE%9F%E8%A1%8C%E7%94%A8%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%89%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E4%BA%8C%E5%88%86%E6%9C%A8%E3%82%92%E5%88%9D%E6%9C%9F%E5%8C%96%0A%20%20%20%20%23%20%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%89%E3%82%92%E5%88%9D%E6%9C%9F%E5%8C%96%0A%20%20%20%20n1%20%3D%20TreeNode(val%3D1)%0A%20%20%20%20n2%20%3D%20TreeNode(val%3D2)%0A%20%20%20%20n3%20%3D%20TreeNode(val%3D3)%0A%20%20%20%20n4%20%3D%20TreeNode(val%3D4)%0A%20%20%20%20n5%20%3D%20TreeNode(val%3D5)%0A%20%20%20%20%23%20%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%89%E9%96%93%E3%81%AE%E5%8F%82%E7%85%A7%EF%BC%88%E3%83%9D%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%BF%EF%BC%89%E3%82%92%E3%81%A4%E3%81%AA%E3%81%90%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20n2%0A%20%20%20%20n1.right%20%3D%20n3%0A%20%20%20%20n2.left%20%3D%20n4%0A%20%20%20%20n2.right%20%3D%20n5%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%89%E3%81%AE%E6%8C%BF%E5%85%A5%E3%81%A8%E5%89%8A%E9%99%A4%0A%20%20%20%20p%20%3D%20TreeNode(0)%0A%20%20%20%20%23%20n1%20-%3E%20n2%20%E3%81%AE%E9%96%93%E3%81%AB%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%89%20P%20%E3%82%92%E6%8C%BF%E5%85%A5%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20p%0A%20%20%20%20p.left%20%3D%20n2%0A%20%20%20%20%23%20%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%89%20P%20%E3%82%92%E5%89%8A%E9%99%A4%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20n2&cumulative=false&curInstr=37&heapPrimitives=nevernest&mode=display&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false
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!!! tip
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挿入は元の論理構造を変える可能性があり、削除は通常、そのノードとすべての部分木の削除を意味します。そのため、実際に意味のある操作を実現するには、複数の操作を組み合わせて挿入や削除を行うのが一般的です。
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## 主な二分木の種類
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### パーフェクト二分木
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下図の<u>パーフェクト二分木（perfect binary tree）</u>は、すべてのレベルが完全に埋まっています。葉の次数は $0$、ほかのすべてのノードの次数は $2$ です。高さが $h$ なら、総ノード数は $2^{h+1} - 1$ という典型的な指数関係になり、自然界の細胞分裂に似た様子を示します。
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!!! tip
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中国語圏では、パーフェクト二分木は<u>「满二叉树」</u>ともよく呼ばれます。
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### 完全二分木
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下図の<u>完全二分木（complete binary tree）</u>では、最下層だけが完全に埋まっていなくてもよく、その層のノードは左から右へ連続して埋まっている必要があります。パーフェクト二分木も、完全二分木の一種です。
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### 全二分木
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下図の<u>全二分木（full binary tree）</u>では、葉以外のすべてのノードが二つの子を持ちます。
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### 平衡二分木
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下図の<u>平衡二分木（balanced binary tree）</u>では、どのノードでも左右の部分木の高さの差の絶対値が 1 以下です。
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## 二分木の退化
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下図は理想的な構造と退化した構造です。各層が埋まるとパーフェクト二分木になり、すべてのノードが一方に偏ると連結リストに退化します。
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- パーフェクト二分木は理想的な場合で、分割統治の利点を十分に発揮できます。
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- 連結リストはもう一方の極端な場合で、各操作が線形になり、時間計算量は $O(n)$ に悪化します。
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下表のように、最良と最悪の構造では、葉の数、総ノード数、高さなどが最大値または最小値になります。
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<p align="center"> 表 <id> 二分木の最良と最悪の構造 </p>
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| | パーフェクト二分木 | 連結リスト |
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| --------------------------- | ------------------ | ------- |
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| 第 $i$ レベルのノード数 | $2^{i-1}$ | $1$ |
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| 高さ $h$ の木の葉ノード数 | $2^h$ | $1$ |
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| 高さ $h$ の木の総ノード数 | $2^{h+1} - 1$ | $h + 1$ |
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| 総ノード数 $n$ の木の高さ | $\log_2 (n+1) - 1$ | $n - 1$ |
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